1r i 2n de Batxillerat

figura 1

09/02/10 0:00

Una drecera
Al llibreLa constante macabra(Ediciones El rompecabezas) André Antibi proposa el següent problema: Suposa que volem anar des del punt A al punt B separats en línia recta per k unitats de longitud. Per fer-ho tenim m'opció d'anar en línia recta, de manera que recorrerem k unitats de longitud o podem seguir diferents camins en forma de semicircumferències com les que es poden veure a la figura1. Està clar que si fem un recorregut que cada vegada contengui més arcs de circumferència, de radi cada vegada menor, al límit, arribarem a recórrer, sobre els infinits arcs, un camí idèntic al recorregut en línia recta i per tant, també mesurarà k unitats de longitud igual que el camí en línia recta. Estàs d'acord amb aquesta afirmació? Explica per què.
Consell:Fes alguns càlculs abans de contestar al problema.

El Quixot(fig.2)
De forma aproximada, podem considerar que el Quixot té unes 400.000 paraules (les hem contades totes?). Suposa que escrivíssim cadascuna de les 400.000 paraules a una pilota de ping-pong (d'uns 40 mm de diàmetre aproximadament). Amb aquestes dades intenta contestar a les següents preguntes:
a) Quin volum hauria de tenir un cub que pogués contenir les 400.000 pilotes de ping-pong?
b) Quant mesuraria el costat del cub anterior? Quants litres hi cabrien? Cabrien les 400.000 pilotes a casa teva? I a la teva habitació?
c) Imagina que des de Ciutadella col·loquéssim les 400.000 pilotes en línia recta? Arribaríem a Ferreries? I a Maó?
Nota:Per a respondre a l'apartat a) et convindrà saber que el millor empaquetament d'esferes que es pot aconseguir té una densitat de d=Pi/(3*sqrt(2)) és a dir, aproximadament, 0'7405. Aquesta darrera dada es coneixia amb la conjectura de Kepler (conjectura perquè es creia certa però no s'havia aconseguit demostrar) fins que l'any 1998 Thomas Hales aconseguí demostrar-la emprant, com en el cas de la demostració dels quatre colors, complexes algoritmes informàtics.